Людвиг прандтль

Интересные факты[ | код]

• Явление внезапного изменения лобового сопротивления сферы впервые наблюдали довольно забавным способом. Прандтль в Геттингене и Эйфель в Париже измерили сопротивление сферы; Прандтль получил значение коэффициента лобового сопротивления в два раза больше, чем Эйфель. Они обменялись информацией, и один из молодых инженеров в лаборатории Прандтля сказал: «О, господин Эйфель забыл множитель 2. Он рассчитал коэффициент, относящийся к ρU², а не ½ ρU²». Это замечание каким-то образом стало известно в Париже, и престарелый Эйфель очень рассердился. Затем он провел измерения в широком диапазоне и обнаружил зависимость этого явления от числа Рейнольдса. (по Т. фон Карману)

• Будучи постоянным посетителем купальни университета Гёттингена, устроенной на берегу реки Лайне под имевшейся на реке плотиной, Л. Прандтль неоднократно предупреждал (главным образом, студентов) об опасности прыжков в воду с плотины в водопад (эти прыжки были запрещены и в особом объявлении). Прандтль компетентно разъяснял, что непосредственно под водопадом образуется так называемое мёртвое пространство, попав в которое, пловец рискует погибнуть

Все посетители купальни отнеслись к предупреждению Прандтля с большим вниманием, и в течение долгого времени правила предосторожности строго соблюдались. Но вот однажды какой-то молодой студент всё-таки прыгнул в водопад, был сразу схвачен потоком и благополучно вынесен им к противоположному берегу водоёма. Потом молодой человек несколько раз повторил свой эксперимент — с тем же благополучным исходом

Затем несколько товарищей смелого студента последовали его примеру, и скоро прыжки в водопад стали излюбленным развлечением купающейся молодежи. Прандтль посмеялся и признал своё поражение. (по П. С. Александрову)

Потом молодой человек несколько раз повторил свой эксперимент — с тем же благополучным исходом. Затем несколько товарищей смелого студента последовали его примеру, и скоро прыжки в водопад стали излюбленным развлечением купающейся молодежи. Прандтль посмеялся и признал своё поражение. (по П. С. Александрову)

Заметки [ править ]

1. ^ Буземанн, A. (1960). «Людвиг Прандтль. 1875–1953» . Биографические воспоминания членов Королевского общества . 5 : 193–205. DOI10,1098 / rsbm.1960.0015 .
2. ^ Экерт, Майкл (2006). «Начало механики жидкости в Геттингене, 1904–14» . Рассвет гидродинамики: дисциплина между наукой и техникой . Вайнхайм: Wiley-VCH. С. 31–56. ISBN 3-527-40513-5.
3. ^ Йоханна Фогель-Прандтль. «Людвиг Прандтль» . Дэвид А. Тигвелл (пер.). Universitätsverlag Göttingen, Германия, 2014.
4. ^ Толлмин, Уолтер; Шлихтинг, Германн; Гёртлер, Генри; Riegels, FW (1961), Tollmien, Walter; Шлихтинг, Германн; Гёртлер, Генри; Riegels, FW (ред.), «Über Flüssigkeitsbewegung бей зеЬг Клейнер Reibung», Прандтль Gesammelte Abhandlungen: цур angewandten Mechanik, Гидро унд Aerodynamik (на немецком языке ), Springer Berlin Heidelberg, стр 575-584,. Дои10.1007 / 978 -3-662-11836-8_43 , ISBN 9783662118368
5. ^ Андерсон, Джон Д. (2005). «Пограничный слой Людвига Прандтля». Физика сегодня . 58 (12): 42–48. Bibcode2005PhT …. 58l..42A . DOI10.1063 / 1.2169443 . ISSN 0031-9228 .
6. ^ IUTAM симпозиум по Сто лет пограничного слоя исследований: Труды IUTAM симпозиуме в DLR-Геттинген, Германия, 12-14 августа 2004 года . Международный союз теоретической и прикладной механики. Дордрехт: Спрингер. 2006. ISBN 1402041497. OCLC  122941795 .
7. ^ «AMA Expo показывает Эл Бауэрс Драйдена, крыло Прандтля» . НАСА . 7 января 2014 . Проверено 27 мая 2016 . Прандтль
8. ^ «GESELLSCHAFT für ANGEWANDTE MATHMATIK und MECHANIK» . Проверено 21 октября 2018 .
9. ^ Экерт, Майкл (2006). Рассвет гидродинамики: дисциплина между наукой и техникой . Вайнхайм: Wiley-VCH. ISBN 3-527-40513-5.
10. ^ Спрекельмейер, Линда, изд. (2006). Мы чтим: Международный зал аэрокосмической славы . Сан-Диего: ISBN компании Donning Co. 978-1-57864-397-4.

• Фогель-Прандтль, Йоханна; Тигвелл, Дэвид А. (2014). Людвиг Прандтль. Личная биография, составленная из воспоминаний и переписки. Перевод на английский язык . Universitätsverlag Göttingen. ISBN 978-3-86395-160-3.
• Фогель-Прандтль, Йоханна (2014). Людвиг Прандтль: личная биография, составленная из воспоминаний и переписки . Universitätsverlag Göttingen. ISBN 978-3-86395-160-3.

Биография[ | код]

Родился во Фрайзинге, недалеко от Мюнхена. Его мать часто болела, поэтому мальчик много времени проводил с отцом, профессором инженерии. Под его влиянием он научился наблюдать природу и размышлять о наблюдениях.

В 1894 году поступил в Мюнхенский технический университет, который окончил через шесть лет со степенью PhD по гидромеханике. После защиты диссертации молодой Прандтль работал над усовершенствованием фабричного оборудования.

В 1901 году Прандтлю предложили место профессора гидромеханики в Ганноверском университете. Именно там он написал свои основные работы. В 1904 году он опубликовал фундаментальную работу — «Течение жидкости с малой вязкостью» (англ. Motion of Fluids With Very Little Viscosity). В работе он впервые описал теорию пограничного слоя и его влияние на лобовое сопротивление и на срыв потока, дав таким образом объяснение явлению сваливания. Приближенная теория пограничного слоя, предложенная Прандтлем, широко используется в наше время. После опубликования этой работы Прандтлю предложили кафедру в университете Гёттингена. В последующее десятилетие Прандтль основал сильнейшую школу аэродинамики, на основе которой в 1925 году был организовано Общество кайзера Вильгельма по изучению течений жидкости и газа (теперь оно носит название Общество Макса Планка).

Продолжая исследование, начатое Фредериком Ланчестером в 1902—1907 годах, Прандтль объединил свои усилия с физиком Альбертом Бетцем и инженером Михаэлем Мунком для исследования подъемной силы реального аэродинамического крыла, используя математический аппарат. Результаты исследования опубликованы в 1918—1918 годах и теперь известны как «теория крыла Ланчестера-Прандтля».

В 1908 году Прандтль и его студент Теодор Майер впервые предложили теорию сверхзвуковой ударной волны. На основе течения Прандтля — Майера в Гёттингене в 1909 году построена первая в мире сверхзвуковая аэродинамическая труба. В 1929 году вместе с Адольфом Буземанном предложил метод проектирования сверхзвукового сопла. В настоящее время все сверхзвуковые сопла и аэродинамические трубы сконструированы на основе этой теории. Студент Прандтля Теодор фон Карман развил теорию сверхзвукового течения.

В 1922 году Прандтль и математик Рихард Эдлер фон Мизес основали GAMM (the International Association of Applied Mathematics and Mechanics). Вплоть до 1945 года Прандтль сотрудничал с Рейхсминистерством авиации Германии.

Среди его работ: сжимание жидкости при сверхскоростном режиме течения — эффект Прандтля — Глоерта, труды по метеорологии и теории упругости.

Прандтль проработал в университете Гёттингена до самой смерти 15 августа 1953 года. Похоронен на Гёттингенском городском кладбище.

Его называют отцом современной аэродинамики.

Полученные результаты

Для двумерного потока конечный результат состоит в том, что коэффициенты подъемной силы и момента увеличиваются в раз :
Cp{\displaystyle C_{p}}cl,cm{\displaystyle c_{l},c_{m}}1β{\displaystyle 1/\beta }

Cp=Cpβcl=clβcm=cmβ{\displaystyle {\begin{aligned}C_{p}&={\frac {C_{p0}}{\beta }}\\c_{l}&={\frac {c_{l0}}{\beta }}\\c_{m}&={\frac {c_{m0}}{\beta }}\end{aligned}}}

где — значения расхода несжимаемой жидкости для исходной (немасштабированной) геометрии. Этот двумерный результат известен как правило Прандтля. Cp,cl,cm{\displaystyle C_{p0},c_{l0},c_{m0}}xyz{\displaystyle xyz}

Для трехмерных потоков эти простые вычисления НЕ применимы. Вместо этого необходимо работать с масштабированной геометрией, как указано выше, и использовать правило Гетерта для вычисления сил и моментов, а затем сил и моментов. Невозможно получить простые результаты, за исключением особых случаев. Например, используя теорию подъемной линии для плоского эллиптического крыла, коэффициент подъемной силы равен
1β{\displaystyle 1/\beta }x¯y¯z¯{\displaystyle {\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}}Cp{\displaystyle C_{p}}

CL=2παβ+2AR{\displaystyle C_{L}={\frac {2\pi \alpha }{\beta +2/AR}}}

где AR — удлинение крыла. Следует отметить , что в случае 2D , где AR → ∞ это сводится к 2D случае, так как в несжимаемой 2D поток для плоского аэродинамической поверхности мы как даны теорией аэродинамической поверхности тонкой .
cl=2πα,{\displaystyle c_{l0}=2\pi \alpha ,}

Математическая формулировка

Обтекание тонкими телами невязкой сжимаемой жидкости регулируется линеаризованным уравнением сжимаемого потенциала малых возмущений:

ϕИксИкс+ϕуу+ϕzzзнак равноM∞2ϕИксИкс(в поле потока){\ displaystyle \ phi _ {xx} + \ phi _ {yy} + \ phi _ {zz} = M _ {\ infty} ^ {2} \ phi _ {xx} \ quad {\ mbox {(в поле потока) }}}

вместе с граничным условием касания потока при малых возмущениях.

V∞пИкс+ϕупу+ϕzпzзнак равно(на поверхности тела){\ displaystyle V _ {\ infty} n_ {x} + \ phi _ {y} n_ {y} + \ phi _ {z} n_ {z} = 0 \ quad {\ mbox {(на поверхности тела)}}}

M∞{\ displaystyle M _ {\ infty}}- число Маха набегающего потока, — компоненты вектора нормали к поверхности. Неизвестной переменной является потенциал возмущения , а полная скорость определяется его градиентом плюс скорость набегающего потока, которая здесь предполагается постоянной .
пИкс,пу,пz{\ displaystyle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}ϕ(Икс,у,z){\ Displaystyle \ фи (х, у, г)}V∞{\ Displaystyle V _ {\ infty}}Икс{\ displaystyle x}

V→знак равно∇ϕ+V∞Икс^знак равно(V∞+ϕИкс)Икс^+ϕуу^+ϕzz^{\ displaystyle {\ vec {V}} = \ nabla \ phi + V _ {\ infty} {\ hat {x}} = (V _ {\ infty} + \ phi _ {x}) {\ hat {x}} + \ phi _ {y} {\ hat {y}} + \ phi _ {z} {\ hat {z}}}

Приведенная выше формулировка действительна только в том случае, если применяется приближение малых возмущений

|∇ϕ|≪V∞{\ Displaystyle | \ набла \ фи | \ ll V _ {\ infty}}

и вдобавок отсутствие околозвукового потока, что приблизительно констатируется требованием, чтобы локальное число Маха не превышало единицы.

1+(γ+1)ϕИксV∞M∞2<1{\displaystyle \leftM_{\infty }^{2}<1}

Преобразование Прандтля – Глауэрта (PG) использует фактор Прандтля – Глауэрта . Он состоит из уменьшения всех размеров y и z и угла атаки на коэффициент потенциала на и компонент x нормальных векторов на :
β≡1−M∞2{\displaystyle \beta \equiv {\sqrt {1-M_{\infty }^{2}}}}β,{\displaystyle \beta ,}β2,{\displaystyle \beta ^{2},}β{\displaystyle \beta }

x¯=xy¯=βyz¯=βzα¯=βαϕ¯=β2ϕ{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&=x\\{\bar {y}}&=\beta y\\{\bar {z}}&=\beta z\\{\bar {\alpha }}&=\beta \alpha \\{\bar {\phi }}&=\beta ^{2}\phi \end{aligned}}}

Тогда эта геометрия будет иметь нормальные векторы, компоненты x которых уменьшены на величину от исходных:
x¯y¯z¯{\displaystyle {\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}}β{\displaystyle \beta }

n¯x¯=βnxn¯y¯=nyn¯z¯=nz{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{\bar {x}}&=\beta n_{x}\\{\bar {n}}_{\bar {y}}&=n_{y}\\{\bar {n}}_{\bar {z}}&=n_{z}\end{aligned}}}

Уравнение потенциала малых возмущений затем преобразуется в уравнение Лапласа:

ϕ¯x¯x¯+ϕ¯y¯y¯+ϕ¯z¯z¯=(in flow field){\displaystyle {\bar {\phi }}_{{\bar {x}}{\bar {x}}}+{\bar {\phi }}_{{\bar {y}}{\bar {y}}}+{\bar {\phi }}_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\quad {\mbox{(in flow field)}}}

и граничное условие касания к потоку сохраняет тот же вид.

V∞n¯x¯+ϕ¯y¯n¯y¯+ϕ¯z¯n¯z¯=(on body surface){\displaystyle V_{\infty }{\bar {n}}_{\bar {x}}+{\bar {\phi }}_{\bar {y}}{\bar {n}}_{\bar {y}}+{\bar {\phi }}_{\bar {z}}{\bar {n}}_{\bar {z}}=0\quad {\mbox{(on body surface)}}}

Это проблема несжимаемого потенциального потока о преобразованной геометрии. Ее можно решить с помощью несжимаемых методов, таких как теория тонких профилей, методы вихревой решетки, методы панелей и т. Д. Результатом является преобразованный потенциал возмущения или его градиентные компоненты в преобразованном пространстве. Физический линеаризованный коэффициент давления затем получается обратным преобразованием
x¯y¯z¯{\displaystyle {\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}}ϕ¯{\displaystyle {\bar {\phi }}}ϕ¯x¯,ϕ¯y¯,ϕ¯z¯{\displaystyle {\bar {\phi }}_{\bar {x}},{\bar {\phi }}_{\bar {y}},{\bar {\phi }}_{\bar {z}}}

Cp=−2ϕxV∞=−2β2ϕ¯x¯V∞=1β2C¯p{\displaystyle C_{p}=-2{\frac {\phi _{x}}{V_{\infty }}}=-{\frac {2}{\beta ^{2}}}{\frac {{\bar {\phi }}_{\bar {x}}}{V_{\infty }}}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\bar {C}}_{p}}

которое известно как правило Гетерта

Спустя годы [ править ]

В 1901 году Прандтль стал профессором механики жидкости в технической школе в Ганновере, позже в Ганноверском техническом университете, а теперь в Ганноверском университете . Именно здесь он разработал многие из своих самых важных теорий. 8 августа й 1904 г. он выступил с новаторской бумагой, Uber Flüssigkeitsbewegung Bei SEHR Клейнера Reibung ( О движении жидкостей в опилках трения ), на третьем международном математическом конгрессе в Гейдельберге

В этой статье он описал пограничный слой и его важность для сопротивления и обтекания. В документе также описываетсяразделение потока в результате пограничного слоя, что впервые ясно объясняет концепцию срыва

Некоторые из его учеников пытались найти решения в замкнутой форме , но потерпели неудачу, и в конце концов приближение, содержащееся в его исходной статье, остается широко распространенным.

Эффект бумаги был настолько велик , что Прандтля стал директором института технической физики в университете Геттингена позже в этом году. В течение следующих десятилетий он превратил его в электростанцию ​​аэродинамики, ведущую в мире до конца Второй мировой войны . В 1925 году университет выделил его исследовательское подразделение и создал Институт исследования потоков кайзера Вильгельма (ныне Институт динамики и самоорганизации Макса Планка ).

Следуя более ранним указаниям Фредерика Ланчестера в 1902–1907 годах, Прандтль работал с Альбертом Бец и Максом Мунком над проблемой полезного математического инструмента для исследования подъемной силы от крыльев «реального мира». Результаты были опубликованы в 1918–1919 гг. И получили название теории крыла Ланчестера – Прандтля . Он также внес специальные дополнения для изучения изогнутых профилей , например, на самолетах Первой мировой войны , и опубликовал упрощенную теорию тонкого профиля для этих конструкций. Эта работа привела к осознанию того, что на любом крыле конечной длины влияние законцовки крыла становится очень важным для общих характеристик и характеристик крыла. Значительная работа была включена в природуиндуцированные вихри лобового сопротивления и законцовки крыла , которые ранее игнорировались. Прандтль показал, что эллиптическое распределение подъемной силы по размаху является наиболее эффективным, обеспечивая минимальное индуцированное сопротивление для данного пролета. Эти инструменты позволили авиаконструкторам провести значимые теоретические исследования своих самолетов до того, как они будут построены.

Людвиг Прандтль 1904 со своим испытательным каналом для жидкости

Позже Прандтль расширил свою теорию, чтобы описать колоколообразное распределение подъемной силы, полученное промыванием законцовок крыла до получения отрицательной подъемной силы, что давало минимальное индуцированное сопротивление для любого заданного веса самолета, также предполагая, что неблагоприятным силам рыскания можно противодействовать исключительно с помощью аэродинамика законцовки крыла, но эта новая теория в значительной степени игнорировалась. В 21 веке американский инженер Эл Бауэрс подтвердил идею, назвав свое экспериментальное крыло PRANDTL-D.

Прандтль и его ученик Теодор Мейер разработали первые теории сверхзвуковых ударных волн и течения в 1908 году. Расширяющиеся вентиляторы Прандтля – Мейера позволили построить сверхзвуковые аэродинамические трубы . У него было мало времени для дальнейшей работы над этой проблемой до 1920-х годов, когда он работал с Адольфом Буземаном и в 1929 году создал метод конструирования сверхзвукового сопла. Сегодня все сверхзвуковые аэродинамические трубы и сопла ракет проектируются с использованием одного и того же метода. Полное развитие сверхзвука должно было подождать работы Теодора фон Кармана , ученика Прандтля в Геттингене.

В 1922 году Прандтль вместе с Ричардом фон Мизесом основал GAMM (Международную ассоциацию прикладной математики и механики). и был его председателем с 1922 по 1933 год. До 1945 года он также тесно сотрудничал с RLM .

В другой работе изучалась проблема сжимаемости при высоких дозвуковых скоростях, известная как поправка Прандтля – Глауэрта . Это стало очень полезным во время Второй мировой войны, когда самолеты впервые начали приближаться к сверхзвуковой скорости. Он также работал в области метеорологии , пластичности и структурной механики .

Сингулярность

Вблизи звуковой скорости преобразование PG имеет особенность . Сингулярность также называется сингулярностью Прандтля – Глауэрта , и расчетное сопротивление потока приближается к бесконечности. В действительности аэродинамические и термодинамические возмущения сильно усиливаются вблизи звуковой скорости, но сингулярности не возникает. Объяснение этому состоит в том, что приведенное выше линеаризованное уравнение потенциала малых возмущений неверно, поскольку оно предполагает, что есть только небольшие изменения числа Маха в потоке и отсутствие скачков уплотнения, и, таким образом, в нем отсутствуют некоторые нелинейные члены. Однако они становятся актуальными, как только какая-либо часть поля потока ускоряется выше скорости звука, и становятся важными вблизиM∞≃1{\displaystyle M_{\infty }\simeq 1}M∞≃1.{\displaystyle M_{\infty }\simeq 1.} Более правильное нелинейное уравнение не обнаруживает особенности.

Почести (выбор)

Геттинген

Тезка

Людвиг-Прандтль-Штрассе в Вальтенхофене

Людвиг-Прандтль-Штрассе в Венде (Геттинген)

Людвиг-Прандтль-Штрассе в Берлине-Бонсдорфе

Людвиг-Прандтль-штрассе в Гархинге недалеко от Мюнхена

Лекционный зал Людвига Прандтля факультета машиностроения Мюнхенского технического университета

Кратер Луны «Прандтль» (1970 г.)

Людвиг Прандтль (исследовательское судно) (1983)

Прандтля тела (последовательное соединение с Гука элемента с Сен — Венана элементом )

Число Прандтля (безразмерное число, которое связывает кинематическую вязкость с температуропроводностью жидкости)

Зонд Прандтля (расходомер для определения динамического давления )

Награды, медали, ордена

Приз памяти Аккермана-Тойбнера (1918 г.)

Золотое почетное кольцо Свободного государства Бавария (1926 г.)

Грашоф памятная монета из в Ассоциации немецких инженеров (1929)

Медаль Даниэля Гуггенхайма (1930)

Мемориальная премия Эрнста Аббе (1935 г.)

Гарнак медаль в Общества кайзера Вильгельма (1936)

Медаль Вильгельма Экснера (1951)

Орден за заслуги перед Федеративной Республикой Германия , Большой крест за заслуги (1953 г.)

Золотая медаль Королевского авиационного общества

Членство в Академии

Академия наук в Геттингене (1914)

Член Королевского общества (1928)

Королевское общество наук в Упсале (1928)

Американская академия искусств и наук (1929)

Немецкая академия наук Леопольдина (1936)

Королевская прусская академия наук (1937)

Баварская академия наук (1942)

Почетный доктор

Гданьский технический университет (1920)

ETH Zurich (1930)

Немецкий технический университет в Праге (1932 г.)

Норвежский технический университет , Тронхейм (1935)

Бухарестский политехнический университет (1942)

İstanbul Teknik Üniversitesi (1952 г.)

Почетный член

Лондонское математическое общество (1924)

Японское общество инженеров-механиков (1930)

Институт авиационных наук, Нью-Йорк (1933)

Немецкое реологическое общество (1952)

Почетные должности

Президент Немецкого аэрокосмического общества

Индивидуальные доказательства

1. Ассоциация Alter SVer (VASV): Адресная книга. Список членов всех стариков. По состоянию на 1 октября 1937 г. Ганновер, 1937 г., стр. 172.
2. Философская диссертация: Опрокидывающие явления, случай неустойчивого равновесия .
3. Л. Прандтль: О движении жидкости с очень небольшим трением . Переговоры III, Междунар. Math. Kongress, Heidelberg, 1904, стр. 484 (английский перевод: NACA Memo 452, 1928, повторение четырех трактатов по гидродинамике и аэродинамике, Геттинген, 1927).

4. Л. Прандтль (ред.): Результаты Института аэродинамических исследований в Геттингене — I. Доставка . Р. Ольденбург, Мюнхен и Берлин, 1921, стр.1-7 .

5. Арне Ширмахер: Физика в великой войне. Physik Journal 13 (2014) № 7, с. 43-48.
6. Эрнст Клее : Персональный словарь Третьего рейха. Кто что был до и после 1945 года . Fischer Taschenbuch Verlag, второе обновленное издание, Франкфурт-на-Майне, 2005 г., ISBN 3-596-16048-0 , стр. 471.
7. Карл-Ойген Куррер : История теории структур. В поисках равновесия . Ernst & Sohn , Берлин, 2018 г., стр. 336, ISBN 978-3-433-03229-9 .
8. Андреас Хака: Социальные сети в машиностроении в немецких университетах и ​​неуниверситетских исследовательских учреждениях 1920–1970. Логотипы, Берлин, 2014 г., ISBN 978-3-8325-3695-4 , стр. 108-109.
9. Хольгер Кранке: Члены Академии наук в Геттингене 1751-2001 гг. (= Трактаты Академии наук в Геттингене, филолого-исторический класс. Том 3, том 246 = Трактаты Академии наук в Геттингене, математико-физический Класс. Серия 3-й том 50). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2001, ISBN 3-525-82516-1 , стр. 193.

использованная литература

Цитаты

1. ^ Kuethe & Chow 1976 , стр. 248-.
2. ^ а б Шапиро 1953 .
3. ^ Göthert 1946 . sfn error: no target: CITEREFGöthert1946 (help)
4. ^ Truckenbrodt 1996 , стр. 178-9.
5. ^ Glauert 1928 , стр. 113–119.
6. Перейти ↑ Meier 2005 .

Источники

• Göthert, BH (1940), Ebene und räumliche Strömung bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten: Erweiterung der Prandtl’schen Regel [ Плоский и трехмерный поток на высоких дозвуковых скоростях: Расширение правила Прандтля ] (на немецком языке), Берлин: Berwe.
• Глауэрт, Х. (1928). «Влияние сжимаемости на подъем аэродинамического профиля» . Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 118 (779): 113–119. Bibcode : 1928RSPSA.118..113G . DOI : 10.1098 / RSPA.1928.0039 . ISSN  1364-5021 .
• Кюете, Арнольд Мартин; Чоу, Чуэн-Йен (1976). Основы аэродинамики: основы аэродинамического дизайна . Вайли. ISBN 978-0-471-50953-0.
• Мейер, Х.-У. (2005), «Die Entwicklung des Pfeilflügels, eine technische Herausforderung» , мемориальная лекция Людвига Прандтля, GAMM 2005, 28 марта — 1 апреля 2005 г. (на немецком языке), Университет Люксембурга
• Шапиро, Ашер Х. (1953). Динамика и термодинамика течения сжимаемой жидкости . Vol. 1. Wiley. ISBN 9780471066910.
• Тракенбродт, Эрих (1996). Fluidmechanik [ Гидромеханика ] (на немецком языке). Vol. 2 (4-е изд.). Springer Verlag.